선형대수학: 벡터 공간과 선형 변환 - 글로벌 관점

선형대수학은 물리학, 공학, 컴퓨터 과학, 경제학, 통계학을 포함한 광범위한 학문 분야의 문제를 이해하고 해결하는 데 필요한 도구와 기술을 제공하는 수학의 기초 분야입니다. 이 글에서는 선형대수학의 두 가지 핵심 개념인 벡터 공간과 선형 변환에 대한 포괄적인 개요를 제공하며, 이들의 전 세계적인 관련성과 다양한 응용을 강조합니다.

벡터 공간이란 무엇인가?

핵심적으로, 벡터 공간(선형 공간이라고도 함)은 함께 더하거나 숫자인 스칼라로 곱할("스케일링할") 수 있는 객체인 벡터의 집합입니다. 이러한 연산은 구조가 예측 가능하게 작동하도록 특정 공리를 만족해야 합니다.

벡터 공간의 공리

V를 두 연산, 즉 벡터 덧셈(u + v)과 스칼라 곱셈(cu)이 정의된 집합이라 합시다. 여기서 u와 v는 V의 벡터이고 c는 스칼라입니다. V가 벡터 공간이 되려면 다음 공리들이 성립해야 합니다:

• 덧셈에 대한 닫힘: V에 속하는 모든 u, v에 대해, u + v는 V에 속한다.
• 스칼라 곱셈에 대한 닫힘: V에 속하는 모든 u와 모든 스칼라 c에 대해, cu는 V에 속한다.
• 덧셈의 교환법칙: V에 속하는 모든 u, v에 대해, u + v = v + u이다.
• 덧셈의 결합법칙: V에 속하는 모든 u, v, w에 대해, (u + v) + w = u + (v + w)이다.
• 덧셈 항등원의 존재: V에 속하는 모든 u에 대해, u + 0 = u를 만족하는 벡터 0이 V에 존재한다.
• 덧셈 역원의 존재: V에 속하는 모든 u에 대해, u + (-u) = 0을 만족하는 벡터 -u가 V에 존재한다.
• 벡터 덧셈에 대한 스칼라 곱셈의 분배법칙: 모든 스칼라 c와 V에 속하는 모든 u, v에 대해, c(u + v) = cu + cv이다.
• 스칼라 덧셈에 대한 스칼라 곱셈의 분배법칙: 모든 스칼라 c, d와 V에 속하는 모든 u에 대해, (c + d)u = cu + du이다.
• 스칼라 곱셈의 결합법칙: 모든 스칼라 c, d와 V에 속하는 모든 u에 대해, c(du) = (cd)u이다.
• 곱셈 항등원의 존재: V에 속하는 모든 u에 대해, 1u = u이다.

벡터 공간의 예시

다음은 벡터 공간의 일반적인 예시입니다:

• Rⁿ: 성분별 덧셈과 스칼라 곱셈이 정의된 모든 n-튜플 실수의 집합입니다. 예를 들어, R²는 익숙한 데카르트 평면이고, R³는 3차원 공간을 나타냅니다. 이는 물리학에서 위치와 속도를 모델링하는 데 널리 사용됩니다.
• Cⁿ: 성분별 덧셈과 스칼라 곱셈이 정의된 모든 n-튜플 복소수의 집합입니다. 양자 역학에서 광범위하게 사용됩니다.
• M_m,n(R): 행렬 덧셈과 스칼라 곱셈이 정의된, 실수 성분을 갖는 모든 m x n 행렬의 집합입니다. 행렬은 선형 변환을 표현하는 데 기본적입니다.
• P_n(R): 다항식 덧셈과 스칼라 곱셈이 정의된, 최대 n차의 실수 계수를 갖는 모든 다항식의 집합입니다. 근사 이론과 수치 해석에서 유용합니다.
• F(S, R): 집합 S에서 실수로 가는 모든 함수의 집합으로, 점별 덧셈과 스칼라 곱셈이 정의됩니다. 신호 처리 및 데이터 분석에 사용됩니다.

부분 공간

벡터 공간 V의 부분 공간은 V에 정의된 것과 동일한 덧셈 및 스칼라 곱셈 연산 하에서 그 자체가 벡터 공간이 되는 V의 부분 집합입니다. V의 부분 집합 W가 부분 공간임을 확인하려면 다음을 보이면 충분합니다:

• W는 비어있지 않다 (종종 영벡터가 W에 있음을 보여줌으로써 증명).
• W는 덧셈에 대해 닫혀 있다: 만약 u와 v가 W에 있으면, u + v도 W에 있다.
• W는 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있다: 만약 u가 W에 있고 c가 스칼라이면, cu도 W에 있다.

선형 독립, 기저, 그리고 차원

벡터 공간 V의 벡터 집합 {v₁, v₂, ..., v_n}이 선형 독립이라고 하는 것은, 방정식 c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n = 0에 대한 유일한 해가 c₁ = c₂ = ... = c_n = 0인 경우를 말합니다. 그렇지 않으면, 그 집합은 선형 종속입니다.

벡터 공간 V의 기저는 V를 생성하는(즉, V의 모든 벡터가 기저 벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있는) 선형 독립인 벡터들의 집합입니다. 벡터 공간 V의 차원은 V의 임의의 기저에 있는 벡터의 수입니다. 이것은 벡터 공간의 근본적인 속성입니다.

예시: R³에서 표준 기저는 {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}입니다. R³의 차원은 3입니다.

선형 변환

선형 변환(또는 선형 사상)은 두 벡터 공간 V와 W 사이의 함수 T: V → W로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 보존합니다. 공식적으로, T는 다음 두 속성을 만족해야 합니다:

• V에 속하는 모든 u, v에 대해 T(u + v) = T(u) + T(v)입니다.
• V에 속하는 모든 u와 모든 스칼라 c에 대해 T(cu) = cT(u)입니다.

선형 변환의 예시

• 영 변환: V의 모든 v에 대해 T(v) = 0.
• 항등 변환: V의 모든 v에 대해 T(v) = v.
• 스케일링 변환: V의 모든 v에 대해 T(v) = cv, 여기서 c는 스칼라.
• R²에서의 회전: 원점을 중심으로 각도 θ만큼 회전하는 것은 선형 변환입니다.
• 사영: R³의 벡터를 xy-평면에 사영하는 것은 선형 변환입니다.
• 미분 (미분 가능한 함수의 공간에서): 도함수는 선형 변환입니다.
• 적분 (적분 가능한 함수의 공간에서): 적분은 선형 변환입니다.

핵과 치역

선형 변환 T: V → W의 핵(또는 영공간)은 W의 영벡터로 사상되는 V의 모든 벡터들의 집합입니다. 공식적으로, ker(T) = {v in V | T(v) = 0}입니다. 핵은 V의 부분 공간입니다.

선형 변환 T: V → W의 치역(또는 상)은 V의 어떤 벡터의 상이 되는 W의 모든 벡터들의 집합입니다. 공식적으로, range(T) = {w in W | w = T(v) for some v in V}입니다. 치역은 W의 부분 공간입니다.

차원 정리는 선형 변환 T: V → W에 대해, dim(V) = dim(ker(T)) + dim(range(T))가 성립함을 말합니다. 이 정리는 선형 변환의 핵과 치역의 차원 사이의 근본적인 관계를 제공합니다.

선형 변환의 행렬 표현

선형 변환 T: V → W와 V와 W의 기저가 주어지면, T를 행렬로 표현할 수 있습니다. 이를 통해 계산적으로 효율적인 행렬 곱셈을 사용하여 선형 변환을 수행할 수 있습니다. 이것은 실제 응용에 매우 중요합니다.

예시: T(x, y) = (2x + y, x - 3y)로 정의된 선형 변환 T: R² → R²를 고려해 봅시다. 표준 기저에 대한 T의 행렬 표현은 다음과 같습니다:

온라인 강좌: MIT OpenCourseWare (Gilbert Strang의 선형대수학 강좌), 칸 아카데미 (선형대수학)

소프트웨어: MATLAB, Python (NumPy, SciPy 라이브러리)